Le Nombre d'Or (audio)

"Divine proportion" ou "section dorée", il est également désigné par la lettre "phi" de l'alphabet grec en l'honneur de Phidias, sculpteur et architecte du Parthénon. Apparu dans l'Antiquité, il est présent sur les façades des temples grecs, au coeur de la Grande Pyramide, dans les cathédrales gothiques et les peintres du début du siècle. Michel Léger revient ici sur le secret universel du Nombre d'Or.

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Une des premières questions qu'on peut se poser avec le nombre d'or, c'est l'historique de ce nombre. On dit le nombre d'or pour quelle raison ? En fait, c'est un nombre, c'est essentiellement une proportion. On va essayer de voir dans quel domaine on peut le trouver.

Et si par exemple on cite Platon, il nous dit nul d'entrer ici s'il n'est pas géomètre. Donc dans l'Antiquité, on va archivuler chez les Grecs, un des métiers qui était le plus considéré c'était le géomètre parce qu'il traçait les terrains dans lesquels on était amené à construire des villes. Et ils nous ont laissé des divisions, si vous voulez, de terrain, des proportions de maisons qui sont fort intéressantes.

Mais ce qui nous intéresse particulièrement ce soir, c'est le rôle mystique et organisateur de ce nombre dans l'art éternel des Anciens et le prestige qui sonne à nos oreilles. Bon, on entend s'embarrer par le nombre d'or, qu'est-ce que c'est ? Où on peut le trouver ? Et aujourd'hui on admet assez mal qu'un ordre mathématique soit source de beauté et que la science des nombres se bat en travers de la création artistique.

Pourtant il existe une relation évidente entre la géométrie la plus rigoureuse d'une part, l'art et le sens esthétique d'autre part. Vous avez par exemple un rectangle, le rectangle que vous avez ici. On va essayer de voir quelle est la différence, par exemple, entre un premier exercice. Je vais vous montrer ceci, par exemple, si vous voulez l'aider.

Voilà par exemple des rectangles. Quels sont, dans ces rectangles, un rectangle et quel est son nombre d'or ? Dans les différentes figures qui sont ici. Donc la question qui va se poser c'est une question d'esthétique, mais en même temps une question d'esthétique c'est aussi une question de vibration.

Alors le nombre d'or, en particulier, vous aviez dans tous les tracés, quand on était amené à réaliser des bâtiments, on était amené à utiliser ce nombre. Et tout se transmettait traditionnellement par des éléments géométriques. Alors quand vous voulez utiliser le nombre d'or, c'est soit un chiffre, soit un rapport. Le chiffre c'est 1,618, et vous avez soit 1 sur 0,78.

C'est à peu près la même chose, c'est un rapport. Donc quand vous voulez le tracer, vous tracez ça au sol, vous avez deux abscisses ordonnées. Vous allez prendre, sur cette droite là, vous allez tracer un premier arc de cercle, pour rapporter ça ici, vous rapportez cette distance ici, et le rapport de cette distance à celle-là vous donne une proportion qui est le nombre d'or. C'est pas compliqué, mais ça revient à dire que dans les rectangles que vous avez ici, vous allez avoir ce rectangle qui est au nombre d'or, mais pas celui-ci, celui-ci.

Donc il y a des rectangles qu'on utilise et qui n'ont pas ces proportions-là. Donc ça c'est des règles simples, mais dans l'Antiquité, on l'utilisait le plus souvent possible. Donc ce qui est à retenir, si vous voulez, c'est la lettre. Pour le nombre d'or, on utilise la lettre Φ, en grec, et on va la retrouver dans toutes les œuvres d'art, que ce soit dans la sculpture, la peinture, la musique, on va la retrouver à peu près partout.

Une de ces curieuses propriétés, ce rectangle, qui rallie la majorité du suffrage, est qu'elle se prête à l'écoupage indéfini générateur de rectangles semblables, de plus en plus petits. Donc c'est ma figure que j'ai mis ici. Vous la retrouvez tout à fait dans la nature. Vous voyez ces coquillages que l'on trouve dans la nature, qui partent d'ici, qui se développent comme ceci, qui s'appellent dans l'antillus compilus.

Ça correspond tout à fait au nombre d'or. C'est-à-dire que vous avez chaque fois ce rectangle dans la proportion du nombre d'or, c'est-à-dire en gros cette proportion entre ces deux distances, ensuite ce rectangle, ensuite celui-ci, ensuite celui-là, etc., indéfini, et on le trouve dans la nature. Donc on s'aperçoit que toutes ces proportions-là ont des raisons. Aujourd'hui, quand on indique ces choses-là, ça fait un peu sourire, mais dans l'antiquité, on relayait la géométrie avec la philosophie, à travers ces dimensions.

Donc on va trouver dans l'ombre d'or la notion du mouvement, du développement. Cette voie du développement continu, nous la trouvons figurée dans un tracé, éminemment satisfaisant pour l'œil, cette spirale logarithmique que je vous ai montrée tout à l'heure, c'est ce qu'on retrouve dans les coquillages, cette courbe admirable qui s'écarte régulièrement de son point de départ et toujours revient sur elle-même, on la trouve dans la nature.

Par exemple, on les trouve dans les tourbillons, des nébuleuses, comme dans le profil de certains coquillages qu'on a vus précédemment. Ce nombre, 1,618, que l'on désigne comme nous l'avons vu par la lettre phi, apparaît comme l'un des rapports numériques organisateurs de forme naturelle. Considérons par exemple un rameau feuillé d'ormes, ses feuilles sont insérées isolément, elles sont disposées sur une aiguille spiralée, admirablement régulière.

Cette fraction est prise presque toujours dans la série. Cette série est remarquable, par ce fait du numérateur et du numinateur de chacune des fractions du autre, que la somme de ceux des fractions précédentes. C'est exactement le processus de formation des rectangles parfaits liés au nombre d'or. Donc le nombre d'or serait donc bien, pour un théoricien, l'une des clés structurelles de l'univers visible.

Ses propriétés expansives et sa présence organisatrice dans la nature en font une figure privilégiée. Que nous sommes portés à apprécier, on rejoint ainsi les anciens pour que l'unité dans la diversité soit le principe du bon. Léonard de Pille, Léonard de Fibonacci, 1175-1240, était un riche commerçant ayant beaucoup voyagé au Moyen-Orient. Il consacrait une partie de son temps à l'étude des mathématiques.

Son libère abbassi, dans lequel il expose les connaissances des arabes, dont il utilise les chiffres et le zéro, signale la série récurrente qui porte son nom. Elle répond au problème suivant. Alors c'est la fameuse histoire, ce que vous avez là-haut, c'est la fameuse histoire des lapins, que vous avez entendu parler. Combien de paires de lapins peuvent être engendrées par une paire unique en un an si chaque mois, chaque paire produit une autre paire qui devient productive à son tour à partir du deuxième mois ?

Donc vous avez ce petit exercice qui est là. Et donc on trouve que c'est un développement qui se fait aussi dans cette série des lombres d'or. Et cette série porte un nom, c'est la série de Fibonacci, nom des personnes les plus connues. La progression du nombre de lapins est donc liée aux lombres d'or qui semblent bien diriger le rythme de la vie dans la nature, que ce soit pour régulariser la croissance des branches de certaines plantes ou de celles de la coquille dont nous en avons parlé.

Donc cette suite est relativement facile à retenir. Vous additionnez un et un plus ça, ça fait deux, deux et deux ça fait trois, donc cette série qui n'est pas très compliquée mais qui est quand même dans ce rythme. En effet, le nombre d'or fut durant des siècles l'appalage des doctrines ésotériques et la transmission toujours entourée de mystères à la divulgation toujours défendue par de sévères interdits.

Mais on sait maintenant par des recoupements nombreux que Phi eut un rôle déterminant dans la science des civilisations qui s'épanouissent autour du bassin oriental de la Méditerranée. Phi était toujours à la fois symbole cosmologique, formule magique et clé de diverses constructions géométriques. La figure à laquelle il était attaché n'était pas le rectangle construit sur la proportion divine mais le pentagramme ou pentagone régulier étoilé.

Le nombre d'or est égal au rapport du côté du pentagone étoilé au côté du pentagone régulier convexe ainsi dans le même cercle. Donc les rapports par exemple, vous avez deux figures ici avec le pentagone étoilé, celle-ci contraste comme ça